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Jede zweistellige Zahl quadrieren

Jede zweistellige Zahl lässt sich mit einer leichten Multiplikation und einer Addition quadrieren. Geh in die eine Richtung bis zu einem Zehner und gleich weit in die andere, multipliziere die beiden Zahlen, bei denen du ankommst, und addiere das Quadrat des Abstands:

47² = 44 × 50 + 3² = 2200 + 9 = 2209

Von 47 sind es drei Schritte hinauf bis fünfzig, also geht der andere Faktor drei Schritte hinunter, bis 44. Das Produkt 44 × 50 ist leicht, weil ein Faktor eine Zehnerzahl ist.

63² = 60 × 66 + 3² = 3960 + 9 = 3969

Hier liegt der Zehner unterhalb, also geht der andere Faktor stattdessen hinauf.

Das ist die Differenz von Quadraten rückwärts gelesen. Dort kanntest du die Mitte der beiden Faktoren und wolltest ihr Produkt, hier kennst du die Zahl, die quadriert wird, und machst daraus ein Produkt mit einem runden Faktor.

Für Zahlen mit Endziffer fünf gibt es eine noch einfachere Regel, deshalb kommen sie hier nicht vor.

Jetzt üben

Da die Zahlen mit Endziffer fünf getrennt behandelt werden, beträgt der Abstand zum nächstgelegenen Zehner höchstens vier, das zu addierende Quadrat also höchstens 16. Die ganze Arbeit ist eine Multiplikation mit einem runden Faktor und die Addition eines kleinen Quadrats.

Techniken des Kopfrechnens

Addition und Subtraktion

• Zahlenpaare zur ZehnDas Fundament des Kopfrechnens. Lerne die fünf Paare und übe sie gleich hier.
• Der ZehnerübergangGeht eine Summe über zehn, dann mach unterwegs immer bei der Zehn Halt. Fülle die erste Zahl bis zehn auf und addiere den Rest.
• Von links addierenIm Kopf addierst du von der höchsten Stelle aus, nicht wie auf dem Papier von der niedrigsten. Fang bei den Zehnern der zweiten Zahl an.
• Subtrahieren durch ZerlegenZieh die Zehner und die Einer der abzuziehenden Zahl getrennt ab. Derselbe Handgriff wie beim Addieren, nur in die andere Richtung.
• Subtrahieren durch ErgänzenStatt mit Übertrag zu rechnen, zählst du von der kleineren Zahl aufwärts. Der erste Schritt ist immer eine Ergänzung zur Zehn.
• Runden und ausgleichenLiegt eine Zahl, die du addierst, oder die abzuziehende Zahl knapp unter einer runden, dann rechne mit der runden und gleiche am Ende aus. Beim Addieren abziehen, beim Subtrahieren zurückgeben.
• Gleiche DifferenzVerschiebe beide Zahlen um denselben Betrag, bis die abzuziehende Zahl rund ist. Die Differenz ändert sich nicht und ein Ausgleich entfällt.

Multiplikation

• Mit acht multiplizierenDrei Verdopplungen hintereinander, und die Zweier- und die Viererreihe fallen unterwegs ab.
• Quadratzahlen als AnkerLerne die neun Quadratzahlen auswendig und leite von ihnen die Nachbaraufgaben ab. Die schwerste Ecke des Einmaleins liegt direkt neben den Quadraten.
• Mit neun multiplizierenEigentlich multiplizierst du mit zehn und subtrahierst einmal.
• Multiplizieren durch ZerlegenZerlege den größeren Faktor in Zehner und Einer, multipliziere beide einzeln und addiere.
• Zweistellige Zahlen multiplizierenZerlege einen Faktor und multipliziere den anderen mit jedem Teil. Nichts Neues, nur ein Schritt mehr.
• Runden beim MultiplizierenMultipliziere mit der nahen runden Zahl und gleiche danach aus. Der Ausgleich ist der Abstand multipliziert mit dem anderen Faktor.
• Halbieren und VerdoppelnMit fünf zu multiplizieren heißt mit zehn multiplizieren und halbieren. Einen Faktor zu halbieren und den anderen zu verdoppeln lässt das Produkt unverändert.
• Mit elf multiplizierenZieh die Ziffern einer zweistelligen Zahl auseinander und setze ihre Summe in die Mitte. Geht die Summe über neun, kommt nur ihre Einerziffer in die Mitte und eins wandert zur linken Ziffer.
• Jede zweistellige Zahl quadrierenWähle den nächstgelegenen Zehner. Rücke einen Faktor dorthin und den anderen gleich weit in die Gegenrichtung, multipliziere die neuen Faktoren und addiere das Quadrat der Verschiebung.
• Differenz von QuadratenWenn zwei Faktoren gleich weit von einer runden Zahl entfernt liegen, quadriere die Zahl genau in der Mitte zwischen ihnen und zieh das Quadrat des Abstands ab.
• Zahlen mit Endziffer fünf quadrierenLass die Fünf am Ende weg, multipliziere den Rest mit der nächsthöheren Zahl und häng 25 an. Zum Beispiel 35 zum Quadrat: 3 × 4 = 12 und 25 dahinter, ergibt 1225.

Division

• Den Dividenden zerlegenDivision ist eine umgekehrte Multiplikationsaufgabe. Zerlege einen größeren Dividenden in Teile, die sich leicht teilen lassen.
• Division mit RestGeht eine Division nicht glatt auf, dann ist die Antwort ein Quotient und ein Rest. Schon ein rundes Vielfaches des Divisors sagt dir, wie groß das Ergebnis ungefähr ist.
• Halbieren beim DividierenDurch vier zu teilen heißt zweimal halbieren, durch acht dreimal. Durch fünf zu teilen heißt verdoppeln und durch zehn teilen.
• Den Divisor zerlegenLässt sich der Divisor in Faktoren zerlegen, dann teile zweimal nacheinander, jedes Mal durch eine Zahl, die kleiner als der Divisor ist. Durch sechs zu teilen heißt durch zwei und dann durch drei zu teilen.
• Division vereinfachenTeile beide Zahlen durch denselben Faktor. Der Quotient bleibt gleich und du rechnest mit kleineren Zahlen weiter.
• TeilbarkeitsregelnVor dem Dividieren siehst du fast auf einen Blick, ob die Division glatt aufgeht.

Kontrolle

• Das Ergebnis abschätzenRunde, mach einen Überschlag und rechne erst danach genau. So rutscht kein grober Fehler durch.
• Die NeunerprobeFühre jede Zahl durch wiederholtes Quersummenbilden auf eine Ziffer zurück. Stimmt eine Addition oder Multiplikation, dann muss sie auch für die einstelligen Quersummen stimmen.

Kopfrechnen