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Jede zweistellige Zahl quadrieren

Jede zweistellige Zahl lässt sich mit einer leichten Multiplikation und einer Addition quadrieren. Geh von der einen Seite bis zu einem Zehner und von der anderen Seite gleich weit in die Gegenrichtung, multipliziere diese beiden und addiere das Quadrat des Abstands:

47² = 44 × 50 + 3² = 2200 + 9 = 2209

Von 47 sind es drei Schritte hinauf bis fünfzig, also geht die andere Seite drei Schritte hinunter, bis 44. Das Produkt 44 × 50 ist leicht, weil ein Faktor ein Zehner ist.

63² = 60 × 66 + 3² = 3960 + 9 = 3969

Hier liegt der Zehner unterhalb, also geht die andere Seite stattdessen hinauf.

Das ist die Differenz von Quadraten rückwärts gelesen. Dort kanntest du die Mitte und wolltest das Produkt, hier kennst du die Zahl, die quadriert wird, und machst daraus ein Produkt mit einem runden Faktor.

Für eine Zahl mit Endziffer fünf gibt es eine noch einfachere Regel, deshalb kommen die hier nicht vor.

Übe

Da die Zahlen mit Endziffer fünf getrennt behandelt werden, beträgt der Abstand zum nächsten Zehner höchstens vier, das zu addierende Quadrat also höchstens 16. Die ganze Arbeit ist eine Multiplikation mit einem runden Faktor darin.

Techniken des Kopfrechnens

Addition und Subtraktion

• Zahlenpaare zur ZehnDas Fundament des Kopfrechnens. Lerne die fünf Paare und übe sie gleich hier.
• Der ZehnerübergangBeim Überschreiten der Zehnergrenze gehst du immer über die Zehn. Fülle die erste Zahl bis zehn auf und addiere den Rest.
• Von links addierenIm Kopf addierst du von den großen Stellen her, nicht von den kleinen wie auf dem Papier. Fang bei den Zehnern an.
• In Teilen subtrahierenErst die Zehner weg, dann die Einer. Derselbe Handgriff wie beim Addieren, nur in die andere Richtung.
• Subtrahieren durch ErgänzenStatt zu borgen zählst du von der kleineren Zahl aufwärts. Der erste Schritt ist immer eine Ergänzung zur Zehn.
• Runden und ausgleichenLiegt eine Zahl knapp unter einer runden, dann rechne mit der runden und gleiche am Ende aus. Beim Addieren abziehen, beim Subtrahieren zurückgeben.
• Gleiche DifferenzVerschiebe beide Zahlen um denselben Betrag, bis die abzuziehende Zahl rund ist. Die Differenz ändert sich nicht und ein Ausgleich entfällt.

Multiplikation

• Mit acht multiplizierenDrei Verdopplungen hintereinander, und die Zweier- und die Viererreihe fallen unterwegs ab.
• Quadratzahlen als AnkerLerne die neun Quadratzahlen auswendig und erreiche von ihnen aus die Nachbarprodukte. Die schwerste Ecke des Einmaleins liegt direkt neben den Quadraten.
• Mit neun multiplizierenEigentlich nur mit zehn multiplizieren und einmal subtrahieren.
• In Teilen multiplizierenZerlege den größeren Faktor in Zehner und Einer, multipliziere beide einzeln und addiere.
• Zweistellige Zahlen multiplizierenZerlege einen Faktor und multipliziere den anderen mit jedem Teil. Nichts Neues, nur eine Schicht mehr.
• Runden beim MultiplizierenMultipliziere mit der nahen runden Zahl und gleiche danach aus. Der Ausgleich ist der Abstand multipliziert mit dem anderen Faktor.
• Halbieren und VerdoppelnMit fünf zu multiplizieren heißt mit zehn multiplizieren und halbieren. Einen Faktor zu halbieren und den anderen zu verdoppeln lässt das Produkt unverändert.
• Mit elf multiplizierenZieh die Ziffern auseinander und setze ihre Summe in die Mitte. Geht die Summe über neun, wandert eins nach links.
• Jede zweistellige Zahl quadrierenWähle den nächsten Zehner. Rücke einen Faktor dorthin und den anderen gleich weit in die Gegenrichtung, multipliziere die neuen Faktoren und addiere das Quadrat der Verschiebung.
• Differenz von QuadratenWenn zwei Faktoren gleich weit von einer runden Zahl entfernt liegen, quadriere die Zahl dazwischen und zieh das Quadrat des Abstands ab.
• Zahlen mit Endziffer fünf quadrierenLass die Fünf weg, multipliziere den Rest mit der nächsthöheren Zahl und häng 25 an. 35 zum Quadrat ist 3 × 4 und 25, also 1225.

Division

• In Teilen dividierenDivision ist eine rückwärts gestellte Multiplikationsfrage. Zerlege einen größeren Dividenden in Teile, die sich leicht teilen lassen.
• Division mit RestGeht eine Division nicht glatt auf, dann ist die Antwort ein Quotient und ein Rest. Derselbe Handgriff sagt dir auch, wie groß sie ungefähr ist.
• Halbieren beim DividierenDurch vier zu teilen sind zwei Halbierungen, durch acht drei. Durch fünf zu teilen heißt verdoppeln und durch zehn teilen.
• Den Divisor zerlegenLässt sich der Divisor in Faktoren zerlegen, dann teile zweimal nacheinander durch kleinere Zahlen. Durch sechs zu teilen heißt durch zwei und dann durch drei zu teilen.
• Division vereinfachenTeile beide Zahlen durch denselben Faktor. Der Quotient bleibt gleich und du rechnest mit kleineren Zahlen weiter.
• TeilbarkeitsregelnVor dem Dividieren siehst du fast auf einen Blick, ob die Division glatt aufgeht.

Kontrolle

• Die Größe abschätzenRunde, hol dir eine grobe Antwort und rechne erst danach genau. So rutscht kein grober Fehler durch.
• Die NeunerprobeFühre jede Zahl durch wiederholtes Quersummenbilden auf eine Ziffer zurück. Stimmt die Rechnung, dann muss sie auch für die zurückgeführten Zahlen stimmen.

Kopfrechnen