pelala.net

Se connecter

Français

ČeštinaDanskDeutschEesti keelEnglishEspañolFrançaisItalianoLatviešuLietuviųMagyarNederlandsNorskPolskiPortuguêsSuomiSvenskaTürkçeРусскийУкраїнськаالعربية日本語한국어

La preuve par neuf

N'importe quel nombre se réduit à un seul chiffre : additionne ses chiffres et recommence jusqu'à ce qu'il n'en reste qu'un. 47 donne 4 + 7 = 11 puis 1 + 1 = 2.

Tout l'intérêt de la preuve est que cette réduction est respectée par la multiplication et l'addition. Si l'opération est juste pour les nombres, elle doit l'être pour leurs formes réduites :

47 × 23 = 1081 → 2 × 5 = 10 → 1, et 1081 → 1. Cela concorde.

Si les deux ne concordent pas, la réponse contient à coup sûr une erreur. La preuve elle-même est facile, car tout le travail se fait sur des chiffres seuls.

Un avertissement honnête. La preuve trouve des erreurs mais ne démontre pas la justesse. Une mauvaise réponse peut avoir par hasard la même forme réduite, et un cas est particulièrement fréquent : les chiffres intervertis. 1081 et 1801 se réduisent tous deux à un, cette preuve ne peut donc pas voir cette erreur-là.

C'est justement pour cela qu'elle va avec l'estimation de l'ordre de grandeur. L'estimation montre si la réponse a le bon ordre de grandeur, et la preuve par neuf repère beaucoup d'erreurs plus petites qui ne le changent pas.

La même somme des chiffres revient dans les critères de divisibilité, où elle teste la divisibilité par neuf.

Entraîne-toi

L'exercice donne une opération déjà effectuée et demande quatre réductions : les deux facteurs, le produit des deux chiffres réduits, et la réponse. Les deux derniers doivent donner le même chiffre, et c'est là toute la preuve.

Techniques de calcul mental

Addition et soustraction

• Les compléments à dixLe socle du calcul mental. Apprends les cinq paires et entraîne-toi ici même.
• Franchir la dizaineQuand tu franchis une dizaine, passe toujours par dix. Complète le premier nombre jusqu'à dix et ajoute le reste.
• Additionner de gauche à droiteDe tête, tu additionnes en partant du plus grand rang, et non du plus petit comme sur le papier. Commence par les dizaines du second nombre.
• Soustraire par morceauxRetire séparément les dizaines et les unités du nombre à soustraire. Le même procédé que dans l'addition, mais dans l'autre sens.
• Soustraire en complétantAu lieu de faire une retenue, complète à partir du plus petit nombre jusqu'au plus grand. La première étape est toujours un complément à dix.
• Arrondir et corrigerQuand le nombre à ajouter ou celui à retirer est juste sous un nombre rond, calcule avec le nombre rond et corrige à la fin. Dans une addition on retire, dans une soustraction on rend.
• La différence constanteDéplace les deux nombres de la même quantité jusqu'à ce que le nombre retiré soit rond. La différence ne change pas et aucune correction n'est nécessaire.

Multiplication

• Multiplier par huitTrois doublements de suite, et tu obtiens au passage les tables de deux et de quatre.
• Les carrés comme repèresApprends les neuf carrés par cœur et sers-t'en pour atteindre les produits voisins. Le coin le plus dur de la table est juste à côté des carrés.
• Multiplier par neufEn réalité, une multiplication par dix et une soustraction.
• Multiplier par morceauxDécompose le plus grand facteur en dizaines et unités, multiplie chaque morceau, puis additionne.
• Multiplier deux nombres à deux chiffresDécompose un facteur et multiplie l'autre par chaque morceau. Rien de nouveau, juste un cran de plus.
• Arrondir pour multiplierMultiplie par le nombre rond voisin et corrige ensuite. La correction vaut l'écart multiplié par l'autre facteur.
• Doubler et diviser par deuxMultiplier par cinq, c'est multiplier par dix et diviser par deux. Diviser un facteur par deux en doublant l'autre laisse le produit inchangé.
• Multiplier par onzeÉcarte les chiffres d'un nombre à deux chiffres et mets leur somme au milieu. Si la somme dépasse neuf, seul son chiffre des unités reste au milieu et une unité passe au chiffre de gauche.
• Le carré de n'importe quel nombre à deux chiffresChoisis la dizaine la plus proche. Déplace un facteur jusqu'à elle et l'autre de la même quantité dans l'autre sens, multiplie les nouveaux facteurs et ajoute le carré du déplacement.
• Différence de deux carrésQuand deux facteurs sont à la même distance d'un nombre rond, élève au carré le nombre du milieu et retire le carré de la distance.
• Le carré des nombres finissant par cinqEnlève le cinq final, multiplie ce qui reste par le nombre suivant et colle 25 au bout. Par exemple, 35 au carré : 3 × 4 = 12 et 25 au bout, ce qui donne 1225.

Division

• Diviser par morceauxLa division est une question de multiplication posée à l'envers. Découpe un grand dividende en morceaux qui se divisent facilement.
• La division avec resteQuand une division ne tombe pas juste, la réponse est un quotient et un reste. Rien qu'avec un multiple rond du diviseur, tu sais déjà à peu près quelle taille aura la réponse.
• Diviser en prenant des moitiésDiviser par quatre, c'est diviser deux fois par deux, et par huit, trois fois. Diviser par cinq, c'est doubler puis diviser par dix.
• Décomposer le diviseurQuand le diviseur se décompose en facteurs, divise deux fois de suite, chaque fois par un nombre plus petit que le diviseur. Diviser par six, c'est diviser par deux puis par trois.
• Simplifier la divisionDivise les deux nombres par le même facteur. Le quotient reste le même et tu continues avec des nombres plus petits.
• Les critères de divisibilitéAvant de diviser, tu peux voir presque d'un coup d'œil si la division tombera juste.

Vérification

• Estimer l'ordre de grandeurArrondis, trouve une réponse approximative, et ne calcule la valeur exacte qu'ensuite. Ainsi, aucune grosse erreur ne passe inaperçue.
• La preuve par neufRéduis chaque nombre à un seul chiffre en additionnant ses chiffres jusqu'au bout. Si l'addition ou la multiplication est juste, elle doit valoir aussi pour les formes réduites.

Calcul mental