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División con resto

Muchas divisiones de la vida real no salen exactas. Si 130 personas necesitan autobuses de 45 plazas, 130 : 45 no significa 2,89 autobuses. Significa dos autobuses llenos y 40 personas que sobran, así que hace falta un tercero. La respuesta es un cociente y un resto, y aquí es el resto el que decide.

El procedimiento es el mismo que al dividir por partes: toma un múltiplo redondo del divisor que quepa dentro del dividendo y mira qué sobra.

349 : 8 → 8 × 40 = 320, sobran 29 → 8 × 3 = 24, sobran 5

El cociente es 40 + 3, o sea 43, y el resto es 5. Por escrito, 349 = 8 × 43 + 5.

La respuesta aproximada llega ya con el primer paso. En cuanto sabes que 8 × 40 cabe y 8 × 50 ya no cabe, sabes también que la respuesta es cuarenta y tantos. Si no hace falta más precisión, tampoco hace falta más trabajo. Por eso esto sirve también para estimar el resultado en la división, igual que el redondeo en la suma y en la multiplicación.

El resto siempre es menor que el divisor, así que también sirve de comprobación rápida. Si lo que sobra es igual o mayor que el divisor, el divisor cabe una vez más y el cociente se había quedado corto.

Practica

El ejercicio plantea una multiplicación del divisor por un número redondo, por ejemplo 8 × 40. Calculas su resultado, después la parte del dividendo que sobra y por último el resto. El cociente es la suma de los dos cocientes parciales, o sea 40 + 3 = 43.

Técnicas de cálculo mental

Suma y resta

• Parejas que suman diezLa base del cálculo mental. Apréndete las cinco parejas y practícalas aquí mismo.
• Pasar por el diezCuando una suma pasa de diez, haz siempre una parada en el diez. Completa el primer número hasta diez y suma el resto.
• Sumar de izquierda a derechaDe cabeza se suma empezando por las cifras de mayor valor posicional, no por las de menor valor como en el papel. Empieza por las decenas del segundo número.
• Restar por partesQuita primero las decenas del número que restas y después sus unidades. El mismo procedimiento que en la suma, solo que en el otro sentido.
• Restar contando hacia arribaEn vez de restar llevando, cuenta hacia arriba desde el número menor. En el primer paso siempre usas una pareja que suma diez.
• Redondear y corregirCuando un sumando o el sustraendo queda justo por debajo de uno redondo, calcula con el redondo y corrige al final. Al sumar se quita, al restar se devuelve.
• Diferencia constanteDesplaza los dos números lo mismo hasta que el número que se resta sea redondo. La diferencia no cambia y no hace falta corregir nada.

Multiplicación

• Multiplicar por ochoDoblar tres veces seguidas, y por el camino te salen gratis la tabla del dos y la del cuatro.
• Los cuadrados como anclasApréndete de memoria los nueve cuadrados y úsalos para llegar a los productos vecinos. El rincón más difícil de la tabla está justo al lado de los cuadrados.
• Multiplicar por nueveEn realidad es multiplicar por diez y restar una vez.
• Multiplicar por partesDescompón el factor mayor en decenas y unidades, multiplica cada parte por separado y suma.
• Multiplicar números de dos cifrasSepara un factor y multiplica el otro factor por cada parte. Nada nuevo, solo una capa más.
• Redondear al multiplicarMultiplica por el número redondo cercano y corrige después. La corrección es la diferencia por el otro factor.
• Mitades y doblesMultiplicar por cinco es multiplicar por diez y partir por la mitad. Si partes un factor por la mitad y doblas el otro, el producto no cambia.
• Multiplicar por onceSepara las cifras de un número de dos cifras y pon su suma en medio. Cuando la suma pasa de nueve, en medio se queda solo su cifra de las unidades y se lleva una a la cifra de la izquierda.
• Cuadrado de cualquier número de dos cifrasElige el múltiplo de diez más cercano. Lleva un factor hasta él y el otro la misma distancia en sentido contrario, multiplica los factores nuevos y suma el cuadrado de esa distancia.
• Diferencia de cuadradosCuando dos factores están a la misma distancia de un número redondo, eleva al cuadrado el número que hay en medio y resta el cuadrado de la distancia.
• Cuadrados de números acabados en cincoQuita el cinco final, multiplica lo que queda por el número siguiente y pon 25 al final. Por ejemplo, 35 al cuadrado: 3 × 4 = 12 y 25 al final, da 1225.

División

• Dividir por partesLa división es una multiplicación planteada al revés. Separa un dividendo grande en partes fáciles de dividir.
• División con restoCuando una división no sale exacta, la respuesta es un cociente y un resto. Un múltiplo redondo del divisor ya te dice más o menos de qué tamaño será la respuesta.
• Dividir partiendo por la mitadDividir entre cuatro es partir por la mitad dos veces, y entre ocho, tres. Dividir entre cinco es doblar y después dividir entre diez.
• Descomponer el divisorCuando el divisor se descompone en factores, divide dos veces seguidas, cada vez entre un número menor que el divisor. Dividir entre seis es dividir entre dos y luego entre tres.
• Simplificar la divisiónDivide los dos números entre el mismo factor. El cociente no cambia y sigues con números menores.
• Criterios de divisibilidadAntes de dividir se puede ver casi de un vistazo si la división va a salir exacta.

Comprobaciones

• Estimar el resultadoRedondea, saca una respuesta aproximada y solo entonces calcula el resultado exacto. Así no se cuela ningún fallo grande.
• La prueba del nueveReduce cada número a una sola cifra sumando sus cifras una y otra vez. Si una suma o una multiplicación está bien, tiene que valer también para las formas reducidas.

Cálculo mental