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La division avec reste

Beaucoup de divisions de la vie courante ne tombent pas juste. Si 130 personnes ont besoin de cars de 45 places, 130 : 45 ne veut pas dire 2,89 cars. Cela veut dire deux cars pleins et 40 personnes qui restent, donc il en faut un troisième. La réponse est un quotient et un reste, et ici c'est le reste qui décide de l'affaire.

Le procédé est le même que pour diviser par morceaux : prends un multiple rond du diviseur qui tient dans le dividende et regarde ce qui reste.

349 : 8 → 8 × 40 = 320, il reste 29 → 8 × 3 = 24, il reste 5

Le quotient est 40 + 3, donc 43, et le reste est 5. Écrit en clair : 349 = 8 × 43 + 5.

La réponse approximative arrive dès la première étape. Dès que tu sais que 8 × 40 tient et que 8 × 50 ne tient plus, tu sais aussi que la réponse est quarante et quelques. S'il ne faut pas plus de précision, il ne faut pas plus de travail non plus. C'est pourquoi c'est aussi la façon d'estimer l'ordre de grandeur d'une division, tout comme pour l'addition et la multiplication.

Le reste est toujours plus petit que le diviseur, c'est donc aussi une vérification rapide. Si ce qui reste est au moins aussi grand que le diviseur, le diviseur tient encore une fois dedans et le quotient était trop petit.

Entraîne-toi

L'exercice donne une multiplication du diviseur par un nombre rond, par exemple 8 × 40. Tu calcules son résultat, puis ce qu'il reste du dividende, et enfin le reste. Le quotient est la somme des deux quotients partiels, donc 40 + 3 = 43.

Techniques de calcul mental

Addition et soustraction

• Les compléments à dixLe socle du calcul mental. Apprends les cinq paires et entraîne-toi ici même.
• Franchir la dizaineQuand tu franchis une dizaine, passe toujours par dix. Complète le premier nombre jusqu'à dix et ajoute le reste.
• Additionner de gauche à droiteDe tête, tu additionnes en partant du plus grand rang, et non du plus petit comme sur le papier. Commence par les dizaines du second nombre.
• Soustraire par morceauxRetire séparément les dizaines et les unités du nombre à soustraire. Le même procédé que dans l'addition, mais dans l'autre sens.
• Soustraire en complétantAu lieu de faire une retenue, complète à partir du plus petit nombre jusqu'au plus grand. La première étape est toujours un complément à dix.
• Arrondir et corrigerQuand le nombre à ajouter ou celui à retirer est juste sous un nombre rond, calcule avec le nombre rond et corrige à la fin. Dans une addition on retire, dans une soustraction on rend.
• La différence constanteDéplace les deux nombres de la même quantité jusqu'à ce que le nombre retiré soit rond. La différence ne change pas et aucune correction n'est nécessaire.

Multiplication

• Multiplier par huitTrois doublements de suite, et tu obtiens au passage les tables de deux et de quatre.
• Les carrés comme repèresApprends les neuf carrés par cœur et sers-t'en pour atteindre les produits voisins. Le coin le plus dur de la table est juste à côté des carrés.
• Multiplier par neufEn réalité, une multiplication par dix et une soustraction.
• Multiplier par morceauxDécompose le plus grand facteur en dizaines et unités, multiplie chaque morceau, puis additionne.
• Multiplier deux nombres à deux chiffresDécompose un facteur et multiplie l'autre par chaque morceau. Rien de nouveau, juste un cran de plus.
• Arrondir pour multiplierMultiplie par le nombre rond voisin et corrige ensuite. La correction vaut l'écart multiplié par l'autre facteur.
• Doubler et diviser par deuxMultiplier par cinq, c'est multiplier par dix et diviser par deux. Diviser un facteur par deux en doublant l'autre laisse le produit inchangé.
• Multiplier par onzeÉcarte les chiffres d'un nombre à deux chiffres et mets leur somme au milieu. Si la somme dépasse neuf, seul son chiffre des unités reste au milieu et une unité passe au chiffre de gauche.
• Le carré de n'importe quel nombre à deux chiffresChoisis la dizaine la plus proche. Déplace un facteur jusqu'à elle et l'autre de la même quantité dans l'autre sens, multiplie les nouveaux facteurs et ajoute le carré du déplacement.
• Différence de deux carrésQuand deux facteurs sont à la même distance d'un nombre rond, élève au carré le nombre du milieu et retire le carré de la distance.
• Le carré des nombres finissant par cinqEnlève le cinq final, multiplie ce qui reste par le nombre suivant et colle 25 au bout. Par exemple, 35 au carré : 3 × 4 = 12 et 25 au bout, ce qui donne 1225.

Division

• Diviser par morceauxLa division est une question de multiplication posée à l'envers. Découpe un grand dividende en morceaux qui se divisent facilement.
• La division avec resteQuand une division ne tombe pas juste, la réponse est un quotient et un reste. Rien qu'avec un multiple rond du diviseur, tu sais déjà à peu près quelle taille aura la réponse.
• Diviser en prenant des moitiésDiviser par quatre, c'est diviser deux fois par deux, et par huit, trois fois. Diviser par cinq, c'est doubler puis diviser par dix.
• Décomposer le diviseurQuand le diviseur se décompose en facteurs, divise deux fois de suite, chaque fois par un nombre plus petit que le diviseur. Diviser par six, c'est diviser par deux puis par trois.
• Simplifier la divisionDivise les deux nombres par le même facteur. Le quotient reste le même et tu continues avec des nombres plus petits.
• Les critères de divisibilitéAvant de diviser, tu peux voir presque d'un coup d'œil si la division tombera juste.

Vérification

• Estimer l'ordre de grandeurArrondis, trouve une réponse approximative, et ne calcule la valeur exacte qu'ensuite. Ainsi, aucune grosse erreur ne passe inaperçue.
• La preuve par neufRéduis chaque nombre à un seul chiffre en additionnant ses chiffres jusqu'au bout. Si l'addition ou la multiplication est juste, elle doit valoir aussi pour les formes réduites.

Calcul mental