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Division mit Rest

Viele Divisionen aus dem Alltag gehen nicht glatt auf. Wenn 130 Leute Busse mit je 45 Plätzen brauchen, dann heißt 130 : 45 nicht 2,89 Busse. Zwei Busse werden voll und 40 Leute bleiben übrig, also braucht man einen dritten. Die Antwort ist ein Quotient und ein Rest, und hier ist es der Rest, der die Sache entscheidet.

Der Handgriff ist derselbe wie beim Zerlegen des Dividenden: Nimm ein rundes Vielfaches des Divisors, das in den Dividenden passt, und schau, was übrig bleibt.

349 : 8 → 8 × 40 = 320, 29 bleiben → 8 × 3 = 24, 5 bleiben

Der Quotient ist 40 + 3, also 43, und der Rest ist 5. Ausgeschrieben: 349 = 8 × 43 + 5.

Die grobe Antwort hast du schon nach dem ersten Schritt. Sobald du weißt, dass 8 × 40 hineinpasst und 8 × 50 nicht mehr, weißt du auch, dass die Antwort vierzig und noch etwas ist. Brauchst du es nicht genauer, dann musst du auch nicht weiterrechnen. Deshalb ist das zugleich der Weg, bei der Division das Ergebnis abzuschätzen, so wie das Runden beim Addieren und Multiplizieren.

Der Rest ist immer kleiner als der Divisor, deshalb taugt er auch als schnelle Probe. Ist das, was übrig bleibt, mindestens so groß wie der Divisor, dann passt der Divisor noch einmal hinein und der Quotient war zu klein.

Jetzt üben

Die Übung gibt eine Multiplikation des Divisors mit einer runden Zahl vor, zum Beispiel 8 × 40. Du rechnest ihr Ergebnis aus, dann den Teil des Dividenden, der übrig bleibt, und zum Schluss den Rest. Der Quotient ist die Summe der beiden Teilquotienten, also 40 + 3 = 43.

Techniken des Kopfrechnens

Addition und Subtraktion

• Zahlenpaare zur ZehnDas Fundament des Kopfrechnens. Lerne die fünf Paare und übe sie gleich hier.
• Der ZehnerübergangGeht eine Summe über zehn, dann mach unterwegs immer bei der Zehn Halt. Fülle die erste Zahl bis zehn auf und addiere den Rest.
• Von links addierenIm Kopf addierst du von der höchsten Stelle aus, nicht wie auf dem Papier von der niedrigsten. Fang bei den Zehnern der zweiten Zahl an.
• Subtrahieren durch ZerlegenZieh die Zehner und die Einer der abzuziehenden Zahl getrennt ab. Derselbe Handgriff wie beim Addieren, nur in die andere Richtung.
• Subtrahieren durch ErgänzenStatt mit Übertrag zu rechnen, zählst du von der kleineren Zahl aufwärts. Der erste Schritt ist immer eine Ergänzung zur Zehn.
• Runden und ausgleichenLiegt eine Zahl, die du addierst, oder die abzuziehende Zahl knapp unter einer runden, dann rechne mit der runden und gleiche am Ende aus. Beim Addieren abziehen, beim Subtrahieren zurückgeben.
• Gleiche DifferenzVerschiebe beide Zahlen um denselben Betrag, bis die abzuziehende Zahl rund ist. Die Differenz ändert sich nicht und ein Ausgleich entfällt.

Multiplikation

• Mit acht multiplizierenDrei Verdopplungen hintereinander, und die Zweier- und die Viererreihe fallen unterwegs ab.
• Quadratzahlen als AnkerLerne die neun Quadratzahlen auswendig und leite von ihnen die Nachbaraufgaben ab. Die schwerste Ecke des Einmaleins liegt direkt neben den Quadraten.
• Mit neun multiplizierenEigentlich multiplizierst du mit zehn und subtrahierst einmal.
• Multiplizieren durch ZerlegenZerlege den größeren Faktor in Zehner und Einer, multipliziere beide einzeln und addiere.
• Zweistellige Zahlen multiplizierenZerlege einen Faktor und multipliziere den anderen mit jedem Teil. Nichts Neues, nur ein Schritt mehr.
• Runden beim MultiplizierenMultipliziere mit der nahen runden Zahl und gleiche danach aus. Der Ausgleich ist der Abstand multipliziert mit dem anderen Faktor.
• Halbieren und VerdoppelnMit fünf zu multiplizieren heißt mit zehn multiplizieren und halbieren. Einen Faktor zu halbieren und den anderen zu verdoppeln lässt das Produkt unverändert.
• Mit elf multiplizierenZieh die Ziffern einer zweistelligen Zahl auseinander und setze ihre Summe in die Mitte. Geht die Summe über neun, kommt nur ihre Einerziffer in die Mitte und eins wandert zur linken Ziffer.
• Jede zweistellige Zahl quadrierenWähle den nächstgelegenen Zehner. Rücke einen Faktor dorthin und den anderen gleich weit in die Gegenrichtung, multipliziere die neuen Faktoren und addiere das Quadrat der Verschiebung.
• Differenz von QuadratenWenn zwei Faktoren gleich weit von einer runden Zahl entfernt liegen, quadriere die Zahl genau in der Mitte zwischen ihnen und zieh das Quadrat des Abstands ab.
• Zahlen mit Endziffer fünf quadrierenLass die Fünf am Ende weg, multipliziere den Rest mit der nächsthöheren Zahl und häng 25 an. Zum Beispiel 35 zum Quadrat: 3 × 4 = 12 und 25 dahinter, ergibt 1225.

Division

• Den Dividenden zerlegenDivision ist eine umgekehrte Multiplikationsaufgabe. Zerlege einen größeren Dividenden in Teile, die sich leicht teilen lassen.
• Division mit RestGeht eine Division nicht glatt auf, dann ist die Antwort ein Quotient und ein Rest. Schon ein rundes Vielfaches des Divisors sagt dir, wie groß das Ergebnis ungefähr ist.
• Halbieren beim DividierenDurch vier zu teilen heißt zweimal halbieren, durch acht dreimal. Durch fünf zu teilen heißt verdoppeln und durch zehn teilen.
• Den Divisor zerlegenLässt sich der Divisor in Faktoren zerlegen, dann teile zweimal nacheinander, jedes Mal durch eine Zahl, die kleiner als der Divisor ist. Durch sechs zu teilen heißt durch zwei und dann durch drei zu teilen.
• Division vereinfachenTeile beide Zahlen durch denselben Faktor. Der Quotient bleibt gleich und du rechnest mit kleineren Zahlen weiter.
• TeilbarkeitsregelnVor dem Dividieren siehst du fast auf einen Blick, ob die Division glatt aufgeht.

Kontrolle

• Das Ergebnis abschätzenRunde, mach einen Überschlag und rechne erst danach genau. So rutscht kein grober Fehler durch.
• Die NeunerprobeFühre jede Zahl durch wiederholtes Quersummenbilden auf eine Ziffer zurück. Stimmt eine Addition oder Multiplikation, dann muss sie auch für die einstelligen Quersummen stimmen.

Kopfrechnen