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Von links addieren

Auf dem Papier addierst du von rechts nach links, bei den Einern beginnend, denn der Übertrag lässt sich aufschreiben. Im Kopf kannst du nichts aufschreiben, und genau daran scheitert das schriftliche Verfahren dort: Du müsstest den Übertrag und eine halbfertige Antwort gleichzeitig behalten.

Im Kopf geht es andersherum, bei der höchsten Stelle beginnend:

67 + 58: 67 + 50 = 117, 117 + 8 = 125

Nimm die erste Zahl ganz und addiere die Zehner der zweiten dazu. Dann kommen die übrigen Einer. Zwei Schritte, und in keinem davon musst du mehr als eine einzige Zahl behalten.

Die Größe der Antwort steht schon nach dem ersten Schritt fest. Wenn 67 + 50 bereits 117 ergibt, dann ist die Antwort sicher hundertzwanzig und noch etwas. Beim schriftlichen Verfahren zeigt sich das erst am Ende, und ein Fehler an der höchsten Stelle bleibt bis dahin unbemerkt.

Übung

Bei dreistelligen Zahlen läuft es genauso, nur mit einem Schritt mehr: erst die Hunderter, dann die Zehner, dann die Einer. Die Übung fragt beide Schritte einzeln ab, denn nur die Endantwort zu kennen geht hier am Kern vorbei.

Techniken des Kopfrechnens

Addition und Subtraktion

• Zahlenpaare zur ZehnDas Fundament des Kopfrechnens. Lerne die fünf Paare und übe sie gleich hier.
• Der ZehnerübergangBeim Überschreiten der Zehnergrenze gehst du immer über die Zehn. Fülle die erste Zahl bis zehn auf und addiere den Rest.
• Von links addierenIm Kopf addierst du von den höheren Stellen her, nicht von den niedrigeren wie auf dem Papier. Fang bei den Zehnern an.
• In Teilen subtrahierenErst die Zehner weg, dann die Einer. Derselbe Handgriff wie beim Addieren, nur in die andere Richtung.
• Subtrahieren durch ErgänzenStatt mit Übertrag zu rechnen, zählst du von der kleineren Zahl aufwärts. Der erste Schritt ist immer eine Ergänzung zur Zehn.
• Runden und ausgleichenLiegt eine Zahl knapp unter einer runden, dann rechne mit der runden und gleiche am Ende aus. Beim Addieren abziehen, beim Subtrahieren zurückgeben.
• Gleiche DifferenzVerschiebe beide Zahlen um denselben Betrag, bis die abzuziehende Zahl rund ist. Die Differenz ändert sich nicht und ein Ausgleich entfällt.

Multiplikation

• Mit acht multiplizierenDrei Verdopplungen hintereinander, und die Zweier- und die Viererreihe fallen unterwegs ab.
• Quadratzahlen als AnkerLerne die neun Quadratzahlen auswendig und erreiche von ihnen aus die Nachbarprodukte. Die schwerste Ecke des Einmaleins liegt direkt neben den Quadraten.
• Mit neun multiplizierenEigentlich nur mit zehn multiplizieren und einmal subtrahieren.
• In Teilen multiplizierenZerlege den größeren Faktor in Zehner und Einer, multipliziere beide einzeln und addiere.
• Zweistellige Zahlen multiplizierenZerlege einen Faktor und multipliziere den anderen mit jedem Teil. Nichts Neues, nur eine Schicht mehr.
• Runden beim MultiplizierenMultipliziere mit der nahen runden Zahl und gleiche danach aus. Der Ausgleich ist der Abstand multipliziert mit dem anderen Faktor.
• Halbieren und VerdoppelnMit fünf zu multiplizieren heißt mit zehn multiplizieren und halbieren. Einen Faktor zu halbieren und den anderen zu verdoppeln lässt das Produkt unverändert.
• Mit elf multiplizierenZieh die Ziffern auseinander und setze ihre Summe in die Mitte. Geht die Summe über neun, wandert eins nach links.
• Jede zweistellige Zahl quadrierenWähle den nächstgelegenen Zehner. Rücke einen Faktor dorthin und den anderen gleich weit in die Gegenrichtung, multipliziere die neuen Faktoren und addiere das Quadrat der Verschiebung.
• Differenz von QuadratenWenn zwei Faktoren gleich weit von einer runden Zahl entfernt liegen, quadriere die Zahl genau in der Mitte zwischen ihnen und zieh das Quadrat des Abstands ab.
• Zahlen mit Endziffer fünf quadrierenLass die Fünf weg, multipliziere den Rest mit der nächsthöheren Zahl und häng 25 an. 35 zum Quadrat ist 3 × 4 = 12 mit 25 dahinter, also 1225.

Division

• In Teilen dividierenDivision ist eine rückwärts gestellte Multiplikationsfrage. Zerlege einen größeren Dividenden in Teile, die sich leicht teilen lassen.
• Division mit RestGeht eine Division nicht glatt auf, dann ist die Antwort ein Quotient und ein Rest. Derselbe Handgriff sagt dir auch, wie groß sie ungefähr ist.
• Halbieren beim DividierenDurch vier zu teilen sind zwei Halbierungen, durch acht drei. Durch fünf zu teilen heißt verdoppeln und durch zehn teilen.
• Den Divisor zerlegenLässt sich der Divisor in Faktoren zerlegen, dann teile zweimal nacheinander durch kleinere Zahlen. Durch sechs zu teilen heißt durch zwei und dann durch drei zu teilen.
• Division vereinfachenTeile beide Zahlen durch denselben Faktor. Der Quotient bleibt gleich und du rechnest mit kleineren Zahlen weiter.
• TeilbarkeitsregelnVor dem Dividieren siehst du fast auf einen Blick, ob die Division glatt aufgeht.

Kontrolle

• Die Größe abschätzenRunde, hol dir eine grobe Antwort und rechne erst danach genau. So rutscht kein grober Fehler durch.
• Die NeunerprobeFühre jede Zahl durch wiederholtes Quersummenbilden auf eine Ziffer zurück. Stimmt die Rechnung, dann muss sie auch für die zurückgeführten Zahlen stimmen.

Kopfrechnen