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Quadrado de números terminados em cinco

Elevar ao quadrado um número terminado em cinco é das coisas mais rápidas de todo o cálculo mental, porque não há nada para calcular além de uma única conta da tabuada.

Tira o cinco do fim, multiplica o que fica pelo número seguinte e acrescenta 25 no fim:

35² → 3 × 4 = 12 → 1225

85² → 8 × 9 = 72 → 7225

O fim é sempre 25, seja qual for o número de partida. Só muda a parte da frente.

Porque funciona. 35 ao quadrado é o mesmo que 30 × 40 + 25. Os dois múltiplos de dez mais próximos dão 1200 quando multiplicados, e junta-se vinte e cinco. O mesmo vale para todos os números terminados em cinco, e 30 × 40 é simplesmente 3 × 4 com dois zeros.

A técnica continua também acima de cem: 105 ao quadrado é 10 × 11 com 25 no fim, ou seja, 11025.

Pratica

Há só nove números de dois algarismos terminados em cinco, por isso são nove factos que se aprendem numa só noite. O exercício pede primeiro o produto do que fica pelo número seguinte, e depois o quadrado completo.

Técnicas de cálculo mental

Adição e subtração

• Complementos para dezA base do cálculo mental. Aprende os cinco pares e pratica-os já aqui.
• Adição passando pelo dezQuando passas de dez, passa sempre pelo dez. Completa o primeiro número até dez e soma o resto.
• Adição da esquerda para a direitaDe cabeça, soma-se a começar pela ordem maior, e não pela menor, como no papel. Começa pelas dezenas do segundo número.
• Subtração por partesTira separadamente as dezenas e as unidades do subtrativo. O mesmo procedimento da adição, só que no outro sentido.
• Subtração contando para a frenteEm vez de pedir emprestado, conta do número menor até ao maior. O primeiro passo usa sempre um complemento para dez.
• Arredondar e corrigirQuando uma parcela ou o subtrativo fica um pouco abaixo de um número redondo, calcula com o número redondo e corrige no fim. Na adição, tira; na subtração, soma.
• Diferença constanteDesloca os dois números na mesma quantidade até o subtrativo ficar redondo. A diferença não muda e não é preciso corrigir.

Multiplicação

• Multiplicação por oitoDuplicar três vezes seguidas, e pelo caminho ganhas de graça as multiplicações por dois e por quatro.
• Quadrados como pontos de apoioAprende de cor os nove quadrados e usa-os para chegar aos produtos vizinhos. O canto mais difícil da tabuada fica mesmo ao lado dos quadrados.
• Multiplicação por noveNa verdade é só multiplicar por dez e fazer uma subtração.
• Multiplicação por partesSepara o fator maior em dezenas e unidades, multiplica cada uma separadamente e soma.
• Multiplicação de números de dois algarismosSepara um fator e multiplica o outro, inteiro, por cada parte. Nada de novo aqui, só mais uma camada.
• Arredondamento na multiplicaçãoMultiplica pelo número redondo mais próximo e corrige depois. A correção é a distância vezes o outro fator.
• Metade e dobroMultiplicar por cinco é multiplicar por dez e dividir por dois. Dividir um fator por dois e duplicar o outro não altera o produto.
• Multiplicação por onzeAfasta os dois algarismos do número e põe a soma deles no meio. Quando a soma passa de nove, só o algarismo das unidades da soma fica no meio e soma-se um ao algarismo da esquerda.
• Quadrado de qualquer número de dois algarismosEscolhe o múltiplo de dez mais próximo. Leva um fator até ele e o outro a mesma distância no sentido contrário, multiplica os novos fatores e soma o quadrado da deslocação.
• Diferença de quadradosQuando dois fatores estão à mesma distância de um número redondo, eleva ao quadrado o número a meio caminho entre eles e subtrai o quadrado da distância.
• Quadrado de números terminados em cincoTira o cinco do fim, multiplica o que fica pelo número seguinte e acrescenta 25 no fim. 35 ao quadrado é 3 × 4 = 12 com 25 no fim, ou seja, 1225.

Divisão

• Divisão por partesA divisão é uma pergunta de multiplicação feita ao contrário. Separa um dividendo maior em partes que se dividam facilmente.
• Divisão com restoQuando uma divisão não é exata, a resposta é um quociente e um resto. Um múltiplo redondo do divisor já mostra mais ou menos o tamanho da resposta.
• Metades na divisãoDividir por quatro é dividir por dois duas vezes, por oito são três vezes. Dividir por cinco é duplicar e depois dividir por dez.
• Fatorização do divisorQuando o divisor se decompõe em fatores, divide duas vezes seguidas, de cada vez por um número menor do que o divisor. Dividir por seis é dividir por dois e depois por três.
• Simplificação da divisãoDivide os dois números pelo mesmo fator. O quociente fica igual e continuas com números mais pequenos.
• Critérios de divisibilidadeAntes de dividir, consegues ver quase só de olhar se a divisão vai ser exata.

Verificação

• Estimativa do resultadoArredonda, obtém uma resposta aproximada e só depois calcula com exatidão. Assim um erro grande não passa despercebido.
• Prova dos noveReduz cada número a um só algarismo somando os algarismos repetidamente. Se uma adição ou multiplicação está certa, tem de estar certa também para as formas reduzidas.

Cálculo mental