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Quadrati dei numeri che finiscono per cinque

Elevare al quadrato un numero che finisce per cinque è una delle cose più veloci di tutto il calcolo mentale, perché a parte un prodotto delle tabelline non c'è niente da calcolare.

Togli il cinque finale, moltiplica quel che resta per il numero successivo e metti 25 in fondo:

35² → 3 × 4 = 12 → 1225

85² → 8 × 9 = 72 → 7225

In fondo c'è sempre 25, da qualunque numero si parta. Cambia solo la parte davanti.

Perché funziona. 35 al quadrato è la stessa cosa di 30 × 40 + 25. I due multipli di dieci più vicini, moltiplicati, danno 1200, e si aggiunge venticinque: 1225. Vale per ogni numero che finisce per cinque, e 30 × 40 è semplicemente 3 × 4 con due zeri.

La tecnica funziona anche oltre il cento: 105 al quadrato è 10 × 11 con 25 in fondo, cioè 11025.

Esercitati

I numeri di due cifre che finiscono per cinque sono solo nove, quindi sono nove risultati che si imparano in una sera sola. L'esercizio chiede prima il prodotto di quel che resta per il numero successivo e poi il quadrato intero.

Tecniche di calcolo mentale

Addizione e sottrazione

• Gli amici del dieciIl fondamento del calcolo mentale. Impara le cinque coppie ed esercitale proprio qui.
• Passare per il dieciQuando si supera il dieci, fai sempre tappa sul dieci. Porta il primo numero a dieci e aggiungi il resto.
• Sommare da sinistraA mente si somma partendo dagli ordini più alti, non da quelli più bassi come sulla carta. Comincia dalle decine del secondo numero.
• Sottrarre a pezziTogli prima le decine, poi le unità. Lo stesso procedimento dell'addizione, solo nell'altro verso.
• Sottrarre contando in avantiInvece di chiedere il prestito, conta in avanti dal numero più piccolo. Il primo passo è sempre un amico del dieci.
• Arrotondare e correggereQuando un numero che aggiungi o che togli sta appena sotto uno tondo, calcola con quello tondo e aggiusta alla fine. Togli nell'addizione, rimetti nella sottrazione.
• Differenza costanteSposta i due numeri della stessa quantità finché quello da togliere non diventa tondo. La differenza non cambia e non serve nessuna correzione.

Moltiplicazione

• Moltiplicare per ottoTre raddoppi di fila, e per strada ti vengono gratis anche il doppio e il quadruplo.
• I quadrati come appigliImpara a memoria i nove quadrati e usali per arrivare ai prodotti vicini. L'angolo più difficile della tavola pitagorica sta proprio accanto ai quadrati.
• Moltiplicare per noveIn realtà è moltiplicare per dieci e fare una sottrazione.
• Moltiplicare a pezziScomponi il fattore più grande in decine e unità, moltiplica ogni pezzo per conto suo e poi somma.
• Moltiplicare numeri di due cifreSpezza un fattore e moltiplica l'altro per ogni pezzo. Niente di nuovo, solo un passaggio in più.
• Arrotondare nella moltiplicazioneMoltiplica per il numero tondo vicino e correggi dopo. La correzione è la distanza per l'altro fattore.
• Dimezzare e raddoppiareMoltiplicare per cinque è moltiplicare per dieci e dimezzare. Dimezzare un fattore e raddoppiare l'altro lascia il prodotto invariato.
• Moltiplicare per undiciAllontana le cifre di un numero di due cifre e metti in mezzo la loro somma. Se la somma passa il nove, in mezzo resta solo la sua cifra delle unità e si riporta uno sulla cifra di sinistra.
• Quadrato di un numero di due cifreScegli il multiplo di dieci più vicino. Sposta un fattore fin lì e l'altro della stessa distanza nel verso opposto, moltiplica i nuovi fattori e aggiungi il quadrato dello spostamento.
• Differenza di quadratiQuando due fattori stanno alla stessa distanza da un numero tondo, eleva al quadrato il numero in mezzo e togli il quadrato della distanza.
• Quadrati dei numeri che finiscono per cinqueTogli il cinque finale, moltiplica quel che resta per il numero successivo e metti 25 in fondo. Per esempio, 35 al quadrato: 3 × 4 = 12 e 25 in fondo, fa 1225.

Divisione

• Dividere a pezziLa divisione è una domanda di moltiplicazione fatta al contrario. Spezza un dividendo grande in pezzi che si dividono facilmente.
• Divisione con il restoQuando una divisione non viene esatta, la risposta è un quoziente e un resto. Già un multiplo tondo del divisore dice all'incirca quanto viene la risposta.
• Dimezzare nella divisioneDividere per quattro è dimezzare due volte, per otto tre volte. Dividere per cinque è raddoppiare e poi dividere per dieci.
• Scomporre il divisoreQuando il divisore si scompone in fattori, dividi due volte di fila, ogni volta per un numero più piccolo del divisore. Dividere per sei è dividere per due e poi per tre.
• Semplificare la divisioneDividi tutti e due i numeri per lo stesso fattore. Il quoziente resta lo stesso e vai avanti con numeri più piccoli.
• Criteri di divisibilitàPrima di dividere si vede quasi a colpo d'occhio se la divisione verrà esatta.

Verifica

• Stimare l'ordine di grandezzaArrotonda, trova una risposta approssimata e solo dopo fai il calcolo esatto. Così un errore grosso non passa.
• La prova del noveRiduci ogni numero a una cifra sola sommando ripetutamente le sue cifre. Se un'addizione o una moltiplicazione è giusta, deve esserlo anche con le forme ridotte.

Calcolo mentale