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Différence de carrés

Quand deux nombres qu'on multiplie sont à la même distance d'un même nombre, le produit sort d'un seul carré et d'une seule soustraction. Prends leur milieu, élève-le au carré et retire le carré de la distance :

18 × 22 = 20 × 20 − 2 × 2 = 400 − 4 = 396

18 et 22 sont tous deux à deux unités de vingt. Vingt au carré fait 400, deux au carré fait 4, et la réponse est 396.

47 × 53 = 2500 − 9 = 2491

Comment le repérer. Vérifie si le milieu des deux facteurs est rond. La façon rapide : si l'un est autant en dessous d'un nombre rond que l'autre est au-dessus, la technique convient. 18 et 22, 47 et 53, 96 et 104.

Elle est à son meilleur quand la distance est petite, car le carré à retirer est alors minuscule. À une distance de deux, il n'y a que quatre à enlever.

Le milieu n'a pas besoin d'être un multiple de dix, seulement un nombre dont tu connais le carré. 23 × 27, c'est 625 − 4, donc 621, car 25 au carré fait 625.

Entraîne-toi

L'exercice donne toujours une paire dont le milieu est un multiple de dix et demande les trois étapes séparément. Dans un vrai calcul, c'est à toi de repérer la paire, et c'est là que se trouve tout le travail de cette technique.

Techniques de calcul mental

Addition et soustraction

• Les compléments à dixLe socle du calcul mental. Apprends les cinq paires et exerce-les ici même.
• Franchir la dizaineQuand tu franchis une dizaine, passe toujours par dix. Complète le premier nombre jusqu'à dix et ajoute le reste.
• Additionner de gauche à droiteDe tête, tu additionnes en partant des grands rangs, et non des petits comme sur le papier. Commence par les dizaines.
• Soustraire par morceauxRetire les dizaines, puis les unités. Le même geste que dans l'addition, mais dans l'autre sens.
• Soustraire en comptant vers le hautAu lieu d'emprunter, compte vers le haut à partir du plus petit nombre. La première étape est toujours un complément à dix.
• Arrondir et corrigerQuand un nombre est juste sous un nombre rond, calcule avec le rond et corrige à la fin. On retire en additionnant, on rend en soustrayant.
• La différence constanteDéplace les deux nombres de la même quantité jusqu'à ce que le nombre retiré soit rond. La différence ne change pas et aucune correction n'est nécessaire.

Multiplication

• Multiplier par huitTrois doublements de suite, et tu obtiens au passage les tables de deux et de quatre.
• Les carrés comme repèresApprends les neuf carrés par cœur et sers-t'en pour atteindre les produits voisins. Le coin le plus dur de la table est juste à côté des carrés.
• Multiplier par neufEn réalité, multiplier par dix et soustraire une fois.
• Multiplier par morceauxDécompose le plus grand facteur en dizaines et unités, multiplie chaque morceau, puis additionne.
• Multiplier deux nombres à deux chiffresDécompose un facteur et multiplie l'autre par chaque morceau. Rien de nouveau, juste une couche de plus.
• Arrondir dans la multiplicationMultiplie par le nombre rond voisin et corrige ensuite. La correction vaut l'écart multiplié par l'autre facteur.
• Doubler et diviser par deuxMultiplier par cinq, c'est multiplier par dix et diviser par deux. Diviser un facteur par deux en doublant l'autre laisse le produit inchangé.
• Multiplier par onzeÉcarte les chiffres et mets leur somme au milieu. Si la somme dépasse neuf, une unité passe au chiffre de gauche.
• Le carré de n'importe quel nombre à deux chiffresChoisis la dizaine la plus proche. Déplace un facteur jusqu'à elle et l'autre de la même quantité dans l'autre sens, multiplie les nouveaux facteurs et ajoute le carré du déplacement.
• Différence de carrésQuand deux facteurs sont à la même distance d'un nombre rond, élève au carré le nombre du milieu et retire le carré de la distance.
• Le carré des nombres finissant par cinqEnlève le cinq final, multiplie ce qui reste par le nombre suivant et colle 25 au bout. 35 au carré, c'est 3 × 4 et 25, donc 1225.

Division

• Diviser par morceauxLa division est une question de multiplication posée à l'envers. Découpe un grand dividende en morceaux qui se divisent facilement.
• La division avec resteQuand une division ne tombe pas juste, la réponse est un quotient et un reste. Le même geste te dit aussi son ordre de grandeur.
• Diviser par moitiésDiviser par quatre, c'est diviser deux fois par deux, et par huit, trois fois. Diviser par cinq, c'est doubler puis diviser par dix.
• Décomposer le diviseurQuand le diviseur se décompose en facteurs, divise deux fois de suite par des nombres plus petits. Diviser par six, c'est diviser par deux puis par trois.
• Simplifier la divisionDivise les deux nombres par le même facteur. Le quotient reste le même et tu continues avec des nombres plus petits.
• Les critères de divisibilitéAvant de diviser, tu peux presque voir d'un coup d'œil si la division tombera juste.

Vérification

• Estimer l'ordre de grandeurArrondis, obtiens une réponse approximative, et calcule exactement seulement après. Ainsi aucune grosse erreur ne passe.
• La preuve par neufRéduis chaque nombre à un seul chiffre en additionnant ses chiffres jusqu'au bout. Si l'opération est juste, elle doit valoir aussi pour les formes réduites.

Calcul mental